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1 債券基礎
(Bond Fundamentals)
風險管理開始於資產評價。要研究的資產中，最簡單的就是定期支付固定息票的債券。因為它的現金流量是事先決定，所以能利用固定的折現率計算其未來現金流量現值。因此債券價格評估會牽涉到要瞭解複利、折現，以及現值和利率間的關係。
當然！風險管理不只是止於評價，而且必須更進一步的檢視因利率變動造成資產價格的可能改變。在本章中，我們假設只有單一的利率或殖利率，被用於債券價格評定，這將是基本的風險因素。本章將描述債券價格和殖利率的關係，並說明管理固定收益投資組合不可缺少的方法。
本章將藉由討論債券的基本原理開始有關數量分析內容。其中1.1節複習折現、現值與終值的概念。1.2節導入價格和殖利率的關係，說明如何運用泰勒展開法(Taylor expansion rule)連結債券價格隨殖利率移動的關係。泰勒展開法的運用範圍不僅含蓋債券價格，它也是基於局部評價(local valuation)之風險管理方法的基本要素，它將在後續章節探討。接著1.3節敘述存續期間(duration)和凸性(convexity)的經濟意涵。
必須事先告知讀者本章和這本書其他部分都是相當緊湊。本章提供債券基本原理的快速複習，並且特別注重風險測量應用。在本章結束時，讀者應該能回答有關FRM債券數學的進階(advanced)問題。
1.1 折現、現值與終值(Discounting, Present Value, and Future Value)
假設一位投資者考慮一張十年後支付100元的零息債券(zero-coupon bond)。此投資受到美國政府的保證而沒有違約風險(default risk)。因為現金的支付發生在未來，所以此投資期初支付的現值將確定少於100元。
為了評價這項支付，我們需要用到折現因子(discounting factor)，這就是利率或是更簡單的說，即收益率(yield)。我們定義 是t期時的現金流量，而折現因子為y，另外定義T是至到期時的期數(例如:年數)。因此債券的現值(present value, PV)可以計算如下式：
(1.1)
舉例來講，一張十年到期年支付100元的債券，折現率為6%，那麼其目前價值為55.84元。假如在其他情況不變之下，愈長到期期間的零息債券，其價值是愈小。而且假如期間T是固定，則殖利率越高，債券價值越低。
相反的，我們能計算債券終值(future value, FV)為：
(1.2)
舉例而言，若一個投資其現值為100元，以6%成長，則十年後其終值將為179.8元。
在此，殖利率有一個實用的解釋，亦即為債券的內部報酬率(internal rate of return)，或是年成長率。比起金錢價值而言，處理報酬率比較容易。當報酬率以百分比和年為基礎表達時，是可以直接作跨資產的比較。有時年化的殖利率可以被定義為有效年利率(effective annual rate; EAR)。
有一個重點要注意的是，利率應與採用的複利方法一併指明。每年複利一次是很平常的，但亦有其他慣例存在。例如，美國政府債券市場採用半年複利一次，在此例中定義 為半年複利計息利率。為了維持可比較性，我們以年化的形式表達，也就是之後要乘2，且其期數或週期數變成為2T。要求出 的公式為：
(1.3)
舉例來講，一張T=10的十年期政府零息債券將有2T=20個數半年複利期間。與式(1.1)比較，可以得知：
(1.4)
連續複利常常被使用在衍生性金融商品的模型上，它是每一年複利次數增加到無窮大的極限情況。連續複利計息的利率 可以從下式得到：
(1.5)
其中 ，有時也表示成exp(．)，表示指數函數。
我們要注意到在方程式(1.1)，(1.3)和(1.5)中，其現值和未來現金流量是完全相同；然而因為不同的複利期數，所以殖利率並不相同。因此複利期間應該要被指明清楚。
【範例】使用不同的折現方法
假如一張十年期債券到期時支付100元，其現值為55.8395元。應用 或 ，則此對應的相關複利年利率為6%。
利用 或 ，可將此一利率換算改寫成半年複利的利率，亦即 。也可以用 換算寫成連續複利，即 。
值得注意的是，當增加複利的頻率，結果得到的利率將會下降。直覺上，因為複利的頻率愈高，表示我們的金錢工作愈辛苦，使得較低的投資報酬率期末將會得到相同的報酬。
重要觀念：
在固定的現值和現金流量下，增加複利的頻率會使得有關的殖利率下降。
Example 1-1: FRM Exam 2002�{Question 48
An investor buys a Treasury bill maturing in 1 month for $978. On the maturity date the investor collects $1,000. Calculate effective annual rate (EAR).
a) 17.0%
b) 15.8%
c) 13.0%
d) 11.6%
Example 1-2: FRM Exam 2002�{Question 51
Consider a savings account that pays an annual interest rate of 8%. Calculate the amount of time it would take to double your money. Round to the nearest year.
a) 7 years
b) 8 years
c) 9 years
d) 10 years
Example 1-3: FRM Exam 1999�{Question 17
Assume a seminannual compounded rate of 8% per annum. What is the equivalent annually compounded rate?
a) 9.20%
b) 8.16%
c) 7.45%
d) 8.00%
1.2 債券價格與殖利率的關係(Price-Yield Relationship)
1.2.1評 價(Valuation)
(1.1)式的基本折現關係式可以被擴展至任何具有固定現金流量形式的債券。我們可將一張債券的現存價值P表達成其未來現金流量的折現值：
(1.6)
其中，
= t期時的現金流量(利息或本金)
t =每一次支付的時間(如:半年)
T =至最後到期日的期數
y =每期的折現因子(如: )
一個典型的現金流量形式為包含固定息票的支付加上到期時本金或面額(face value)償付。定義c為票面利率，F為債券面額，可知在到期之前 ，而在到期時 。本章附錄將複習一些有用的公式，它們提供了此類債券的封閉式解答(closed-form solutions)。
當票面利率c精準的配合殖利率y，且使用相同的複利次數，則債券現值必會等於其面值，此種債券被稱為面額債券（par bond）。
公式(1.6)描寫在給定現金流量的特性之下，殖利率y和債券價格p的關係。換句話說，價值P也能被寫成殖利率y的非線性函數：
(1.7)
相反的，我們可以令P為現在債券的市場價格，包括任何的應計利息在內。則藉由求解此式，就能計算出債券的隱含殖利率。
圖1.1描繪票面利率6%，十年期的債券價格和殖利率函數，在風險管理術語上，這也是資產收益和風險因子之間的關係。當殖利率6%時，此債券的價格為面額，即P=100元。較高的殖利率隱含了較低的價格。
當殖利率數值包含較大的區間範圍時，將呈現相當高的非線性關係。舉例來說，當殖利率為0時，債券價格只是簡單的現金流量加總，此例即是160元；而當收益率的數值傾向於很大時，債券價格將會趨近於0。但若是在一開始6%殖利率左右的小幅變動，則此關係是準線性（quasi-linear）。
圖1.1 價格和殖利率關係
對統一公債(consols)或永續債券(perpetual bonds)而言，存在一種特別簡易的關係，此種債券有固定的息票支付，但無償還本金的到期日。統一公債的到期日為無窮遠，且現金流量都相同，等於其面額的固定百分比， ，因而其價格能從式(1.6)簡化為：
(1.8)
如同於本章附錄所示。在此情況下，價格和殖利率的倒數成簡單的等比例變動。較高的殖利率會導致較低的債券價格，反之亦然。
【範例】債券評價
考慮一債券票面利率為6%，每年附息一次，十年後支付100元。假設下一次的利息支付正好為一年。則當殖利率為6%時，此債券的市場價值是多少?而當殖利率降為5%時呢？
此債券的現金流量為 。應用 (1.6) 式和折現率為6%，這將得到現金流量之現值為$5.66，$5.34，…，$59.19，加總和為$100，所以此債券以面額出售。這是合乎邏輯的，因為債券票面利率等於殖利率，且亦是以年複利。而另一情況，當折現率為5%時，債券價格將為$107.72。
Example 1-4: FRM Exam 1998�{Question 12
A fixed-rate bond, currently priced at 102.9, has one year remaining to maturity and is paying an 8% coupon. Assuming the coupon is paid semiannually, What is the yield of the bond?
a) 8%
b) 7%
c) 6%
d) 5%
1.2.2 泰勒展開式(Taylor Expansion)
接下來我們要看假如殖利率由期初值 改變，例如：新殖利率 ，會對債券價格產生什麼變化。風險管理主要就是評估風險因子改變，如殖利率變動，對資產價值的影響。是否有捷徑幫助我們解決這類問題呢?
我們可以再計算一次新債券的價格為 ，然而假如殖利率變化不是太大，我們可以應用一個有用的方法。這種非線性的關係能用在殖利率期初值的泰勒展開式逼近 ：
(1.9)
其中 和 分別為對函數 在以起始點評價的一階和二階微分 。此展開式能被廣義運用於有二個或更多以上變數的函數上。以債券來說，一階微分就是存續期間的衡量，而二階微分即是凸性的衡量。
公式(1.9)為代表對 次方項的無限展開式，但金融實務業界只採用前兩項(一次項和二次項)。這是因為相對於我們資產評價的其他有關假設而言，它們提供了價格改變的良好近似值。假如殖利率的增加很小，甚至連二次項將都可以忽略。
(1.9)式是風險管理的基礎。它有時以不同的外觀形式，被應用於許多不同的金融市場。我們稍後將看到泰勒展開式用於衍生性金融商品契約價格改變的近似值，像股票選擇權。在此情況下，式(1.9)寫為：
(1.10)
其中S為現在標的資產的價格，例如：股價。此時一階微分項 稱為delta，二階微分項 稱為gamma。
泰勒展開式允許容易的對不同金融工具間作加總，假如我們有 單位(數量)的債券i和總數為N的不同債券的投資組合，則此投資組合的微分項會符合
(1.11)
我們將在之後舉一個包含三種債券的投資組合例子作說明。
Example 1-5: FRM Exam 1999�{Question 9
A number of terms in finance are related to the (calculus!) derivative of the price of a security with respect to some other variable. Which pair of terms is defined using second derivatives?
a) Modified duration and volatility
b) Vega and delta
c) Convexity and gamma
d) PV01 and yield to maturity
1.3 債券價格導數(Bond Price Derivatives)
對固定收益的工具而言，因為導數（微分項）非常重要，所以我們給它一個特別的名稱 ，一階微分項的負數稱為金額存續期間(dollar duration; DD)：
(1.12)
其中 稱為修正後的存續期間(modified duration)。因此金額的存續期間為：
(1.13)
在此 代表市場價格，包含了任何的應計利息。有時風險是以一個基本點的金額價值(dollar value of a basic point; DVBP)衡量：
(1.14)
0.0001代表一個基本點或是萬分之一。DVBP有時又稱為DV01，能容易的對投資組合作加總。
二階微分又稱為金額凸性(dollar convexity; DC)：
(1.15)
這裡C稱為債券的凸性(convexity)。
就已知現金流量的固定收益工具來說，其價格-殖利率函數為已知，而且我們能計算分析一階和二階微分項。舉例來說，考慮(1.1)式中一個簡單的零息債券，其唯一支付是面額 。當我們作一階微分時，可寫成：
(1.16)
和(1.12)式比較，我們可以知道修正後的存續期間可以表示成 。而傳統常用的存續期間衡量指標是D=T，這並不包含除以分母的(1+y)，此又被稱為Macaulay存續期間。要注意到的是，存續期間是以期數表示，例如T，年複利是以年為存續期間的期數，半年複利一次，存續期間是以半年計算，因此要除以2以轉換為年數。
修正的存續期間是一個衡量利率曝險(exposure)的適當指標。數量(1+y)會出現於分母，是因為我們以間斷複利(discrete compounding)對現值項作微分。假如我們用連續複利，修正的存續期間和傳統的存續期間衡量相同。實際上，Macaulay和修正後的存續期間的差別通常是很小。
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